编译原理:FIRST集和FOLLOW集

FIRST集

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FIRST(X): 可以从X推导出的所有串首终结符构成的集合

如果$X \Rightarrow {}^* \varepsilon$.那么 $\varepsilon \in FIRST(X)$

例

$$\begin{'{'}align*{'}'} \textcircled{'{'}1{'}'} &\ E \to TE' & \text{'{'}FIRST{'}'}(E) &= \lbrace (, \text{'{'}id{'}'} \rbrace \ \textcircled{'{'}2{'}'} &\ E' \to +TE' \mid \varepsilon & \text{'{'}FIRST{'}'}(E') &= \lbrace +, \varepsilon \rbrace \ \textcircled{'{'}3{'}'} &\ T \to FT' & \text{'{'}FIRST{'}'}(T) &= \lbrace (, \text{'{'}id{'}'} \rbrace \ \textcircled{'{'}4{'}'} &\ T' \to *FT' \mid \varepsilon & \text{'{'}FIRST{'}'}(T') &= \lbrace$$, \varepsilon \rbrace \ \textcircled{'{'}5{'}'} &\ F \to (E) \mid \text{'{'}id{'}'} & \text{'{'}FIRST{'}'}(F) &= \lbrace (, \text{'{'}id{'}'} \rbrace \end{'{'}align{'}'}

算法

不断应用下列规则，直到没有新的终结符或 ε 可以被加入到任何 FIRST 集合中为止 ▶ 如果 X 是一个终结符，那么 FIRST(X) = {X} ▶ 如果 X 是一个非终结符，且 X→Y₁…Yₖ ∈ P（k≥1），那么：

• 如果对于某个 i，a 在 FIRST(Yᵢ) 中，且 ε 在所有的 FIRST(Y₁), …, FIRST(Yᵢ₋₁) 中（即 Y₁…Yᵢ₋₁ ⇒* ε），就把 a 加入到 FIRST(X) 中。
• 如果对于所有的 j = 1, 2, …, k，ε 在 FIRST(Yⱼ) 中，那么将 ε 加入到 FIRST(X) 中。 ▶ 如果 X→ε ∈ P，那么将 ε 加入到 FIRST(X) 中

计算$串X_1X_2..X_n$的FIRST集合

向$FIRST(X_1X_2X_3...X_n)加入FIRST(X_1)$中所有的非 $\varepsilon$符号

如果 $\varepsilon$ 在$FIRST(X_1)$中,再加入$FIRST(X_2)$中的所有非 $\varepsilon$符号;

如果 $\varepsilon$ 在$FIRST(X_1)$和$FIRST(X_2)$中,再加入$FIRST(X_3)$中的所有非$\varepsilon$符号,以此类推

FOLLOW集

FOLLOW(A):可能在某个句型中,紧跟在A后边的非终结符a的集合

例

$$\begin{'{'}array{'}'}{'{'}lcl{'}'} \textcircled{'{'}1{'}'} & E \to TE' & \text{'{'}FIRST{'}'}(E) = {'{'} (, \text{'{'}id{'}'} {'}'} \quad \text{'{'}FOLLOW{'}'}(E) = {'{'} #, ) {'}'}\ \textcircled{'{'}2{'}'} & E' \to +TE' \mid \varepsilon & \text{'{'}FIRST{'}'}(E') = {'{'} +, \varepsilon {'}'} \quad \text{'{'}FOLLOW{'}'}(E') = {'{'} #, ) {'}'}\ \textcircled{'{'}3{'}'} & T \to FT' & \text{'{'}FIRST{'}'}(T) = {'{'} (, \text{'{'}id{'}'} {'}'} \quad \text{'{'}FOLLOW{'}'}(T) = {'{'} +, #, ) {'}'}\ \textcircled{'{'}4{'}'} & T' \to *FT' \mid \varepsilon & \text{'{'}FIRST{'}'}(T') = {'{'} *, \varepsilon {'}'} \quad \text{'{'}FOLLOW{'}'}(T') = {'{'} +, #, ) {'}'}\ \textcircled{'{'}5{'}'} & F \to (E) \mid \text{'{'}id{'}'} & \text{'{'}FIRST{'}'}(F) = {'{'} (, \text{'{'}id{'}'} {'}'} \quad \text{'{'}FOLLOW{'}'}(F) = {'{'} *, +, #, ) {'}'} \end{'{'}array{'}'}$$