定义
设< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > ∗ * ∗ < G , > <G,_> < G , >
则称< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ >
细分定义
(1)设< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > 若集合G是有限集 ,则称< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ >
(2)只含有幺元的群叫平凡群
(3)若∗ * ∗ < G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > 交换群 或阿贝尔群
性质
群中无零元
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定理:设< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > ∣ G ∣ ≥ 2 |G| \geq 2 ∣ G ∣ ≥ 2 G G G
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证:
反证法 假设 G 中存在零元 θ , ∀ x ∈ G , 有 θ ∗ x = x ∗ θ = θ 零元不存在逆元 , 与定义矛盾 , 所以群无零元 反证法\
假设G中存在零元 \theta , \forall x \in G ,有 \
\theta * x = x * \theta = \theta \
零元不存在逆元,与定义矛盾,所以群无零元 反证法 假设 G 中存在零元 θ , ∀ x ∈ G , 有 θ ∗ x = x ∗ θ = θ 零元不存在逆元 , 与定义矛盾 , 所以群无零元
群中每个元素都是可消去元
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设< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > ∀ a , b , c ∈ G 都有 \forall a,b,c \in G 都有 ∀ a , b , c ∈ G 都有
a ∗ b = a ∗ c a*b=a*c a ∗ b = a ∗ c b = c b=c b = c
b ∗ a = c ∗ a b*a=c*a b ∗ a = c ∗ a b = c b = c b = c
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证明:
任取a , b , c ∈ G a,b,c \in G a , b , c ∈ G a ∗ b = a ∗ c a*b=a*c a ∗ b = a ∗ c
因< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > a − 1 ∈ G a^{-1} \in G a − 1 ∈ G
a − 1 ∗ ( a ∗ b ) = a − 1 ∗ ( a ∗ c ) ( a − 1 ∗ a ) ∗ b = ( a − 1 ∗ a ) ∗ c e ∗ b = e ∗ c a^{'{'}-1{'}'}(a b)=a^{'{'}-1{'}'}(a c)\
(a^{'{'}-1{'}'}*a)*b=(a^{'{'}-1{'}'}a)c\
e b=e c\ a − 1 ∗ ( a ∗ b ) = a − 1 ∗ ( a ∗ c ) ( a − 1 ∗ a ) ∗ b = ( a − 1 ∗ a ) ∗ c e ∗ b = e ∗ c
所以 b = c b=c b = c
群中除幺元外,无其他幂等元
定理
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设< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ >
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证明:
设a ∈ G a \in G a ∈ G a ∗ a = a a*a=a a ∗ a = a a ∗ a = a ∗ e a*a=a*e a ∗ a = a ∗ e
a = e a=e a = e
群方程有唯一解
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设< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > ∀ a , b ∈ G \forall a,b \in G ∀ a , b ∈ G
(1) ∃ 唯一 x ∈ G , 使得 a ∗ x = b \exists 唯一 x \in G,使得a*x=b ∃ 唯一 x ∈ G , 使得 a ∗ x = b
(2)∃ 唯一 y ∈ G , 使得 y ∗ a = b \exists 唯一 y \in G,使得y*a=b ∃ 唯一 y ∈ G , 使得 y ∗ a = b
:::
证明:
因为 < G , ∗ > 是群 , 对 ∀ a , b ∈ G , 有 a − 1 ∈ G 所以 a − 1 ∗ b ∈ G , 将 a − 1 ∗ b 带入 ( 1 ) 中得 : a ∗ x = a ∗ ( a − 1 ∗ b ) = ( a ∗ a − 1 ) ∗ b = e ∗ b = b 所以 x = a − 1 ∗ b 是方程 ( 1 ) 的解 . 设 ( 1 ) 有两个解 , x 1 , x 2 ∈ G , 于是有 a ∗ x 1 = b , a ∗ x 2 = b , 所以 a ∗ x 1 = a ∗ x 2 , 由可消去性得 x 1 = x 2 . 因为<G,*>是群,对\forall a,b \in G,有a^{'{'}-1{'}'} \in G\
所以a^{'{'}-1{'}'}b \in G,将a^{'{'}-1{'}'}b带入(1)中得:\
a x=a (a^{'{'}-1{'}'}b)=(a a^{'{'}-1{'}'})b=e b=b\
所以x=a^{'{'}-1{'}'}*b是方程(1)的解.\
设(1)有两个解,x_{'{'}1{'}'},x_{'{'}2{'}'} \in G,于是有 ax_1=b,a x_2=b,所以\
ax_1=a x_2,由可消去性得x_1=x_2.因为 < G , ∗ > 是群 , 对 ∀ a , b ∈ G , 有 a − 1 ∈ G 所以 a − 1 ∗ b ∈ G , 将 a − 1 ∗ b 带入 ( 1 ) 中得 : a ∗ x = a ∗ ( a − 1 ∗ b ) = ( a ∗ a − 1 ) ∗ b = e ∗ b = b 所以 x = a − 1 ∗ b 是方程 ( 1 ) 的解 . 设 ( 1 ) 有两个解 , x 1 , x 2 ∈ G , 于是有 a ∗ x 1 = b , a ∗ x 2 = b , 所以 a ∗ x 1 = a ∗ x 2 , 由可消去性得 x 1 = x 2 .
有限群运算表的特征
定理
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< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > ∗ * ∗
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< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > ∀ a , b ∈ G \forall a,b \in G ∀ a , b ∈ G
(1) ( a − 1 ) − 1 = a (a^{-1})^{-1}=a ( a − 1 ) − 1 = a
(2) ( a ∗ b ) − 1 = b − 1 ∗ a − 1 (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1} ( a ∗ b ) − 1 = b − 1 ∗ a − 1
易证不难,略!
推论
a − n = ( a n ) − 1 = ( a − 1 ) n a^{-n}=(a^{n})^{-1}=(a^{-1})^{n} a − n = ( a n ) − 1 = ( a − 1 ) n
规定
a 0 = e a^{0}=e a 0 = e
群的阶与群众元素的阶
群的阶
设< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > < G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > n → ∞ n \to \infty n → ∞
则< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ >
群众元素的阶
设
< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > a ∈ G a \in G a ∈ G a k = e a^{k}=e a k = e
若不存在这样的正整数k,则称a的阶是无限的.
定理
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设< G , ∗ > <G,*> < G , ∗ > a ∈ G a\in G a ∈ G
(1) a n = e a^{n}=e a n = e
(2) ∣ a − 1 ∣ = ∣ a ∣ |a^{-1}|=|a| ∣ a − 1 ∣ = ∣ a ∣
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易证不难
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