离散数学:环与域

环定义

给定代数系统$<A,+,*>,+和*是A上的二元运算,若满足下面条件$

$(1) <A,+>是交换群$

$(2) <A,*>是半群$

(3)$*对+可分配.即对任何a,b,c \in A ,有\\a*(b+c)=(a*b)+(a*c)及(a+b)*c=(a*c)+(b*c)$

则称$<A,+,*>$是环

环运算法则

设$<A,+,*>是环,任意a,b,c \in A$,约定:

$对+ : 幺元用0表示,a的逆元用-a表示;$

$对* : 幺元用1表示,a的逆元用a^{-1}表示;$

$将a+(-b)记为a-b$

定理

:::tip

设$<A,+,*>是环,任意a,b,c \in A$

$(1) a*0=0*a=0 (+的幺元,恰是*的零元)$

$(2)(-a)*b=a*(-b)=-(a*b)=-a*b$

$(3)(-a)*(-b)=a*b$

$(4) a*(b-c)=(a*b)-(a*c)=a*b-a*c$

$(5) (a-b)*c=a*c-b*c$

易证不难

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零因子

设$<A,+,*>是环,+运算的幺元0,恰是*运算的零元,称0是环的零元$

显然 若a=0或b=0,则$a*b=0$

反之 则不一定

定义:

$设<A,+,*>是环\\有a,b \in A \\使得a \not= b \vee b \not= 0 \\ 但a*b=0 \\则称a,b是零因子$

特殊环

$(1)若*满足交换律,则称<A,+,*>是交换环$

$(2)若<A,*>存在幺元,则称<A,+,*>是含幺环$

$(3)若 \forall a,b \in A ,a*b=0 => a=0 \vee b =0 ,则称 <A,+,*>是无零因子环.$

$(4) 若<A,+,*>是交换环,含幺环,无零因子环,则称<A,+,*>是整环$

$(5) 若 <A-{0},*>是交换群,则称<A,+,*>是域$

定理

:::tip

$<A,+,*>是无零因子环,当且仅当运算*满足可消去性$

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:::tip

$设<A,+,*>是域,则A中无零因子.

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:::tip

域必是整环

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:::tip

有限整环一定是域

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