离散数学:代数系统(二)

代数系统的基本性质

同构

同构是代数系统之间的一种重要关系，用符号 $\cong$ 表示。若两个代数系统 $(A, \star)$ 和 $(B, \circ)$ 之间存在同构，则记作 $(A, \star) \cong (B, \circ)$。

同构的性质

1. 自反性

定理：任意代数系统与自身同构。

证明： 对于任意代数系统 $(A, \star)$，存在恒等映射 $f: A \rightarrow A$，对于任意 $a \in A$，有 $f(a) = a$。

对任意 $a, b \in A$，有：

$$f(a \star b) = a \star b = f(a) \star f(b)$$

所以恒等映射 $f$ 是从系统 $(A, \star)$ 到自身的同构，即 $(A, \star) \cong (A, \star)$。

2. 对称性

定理：若 $(A, \star) \cong (B, \circ)$，则 $(B, \circ) \cong (A, \star)$。

证明： 已知 $y=f(x)$, $x=f^{-1}(y)$

证明 $f^{-1}(y_1 \circ y_2)=f^{-1}(y_1)\star f^{-1}(y_2)$ 与 $f(x_1 \star x_2)=f(x_1)\circ f(x_2)$ 等价：

1. 用已知条件替换：

   $$f^{'{'}-1{'}'}(f(x_1) \circ f(x_2)) = f^{'{'}-1{'}'}(f(x_1))\star f^{'{'}-1{'}'}(f(x_2))$$

2. 两边再套 $f$，消去 $f^{-1}$：

   $$f(x_1\star x_2) = f(x_1) \circ f(x_2)$$

更一般地，若 $(A, \star) \cong (B, \circ)$，则存在双射 $f: A \rightarrow B$ 满足 $f(a \star b) = f(a) \circ f(b)$。

构造 $f^{-1}: B \rightarrow A$，则有 $f^{-1}(f(a)) = a$ 对任意 $a \in A$ 成立。

对于任意 $y_1, y_2 \in B$，设 $x_1 = f^{-1}(y_1), x_2 = f^{-1}(y_2)$，则：

$$f^{'{'}-1{'}'}(y_1 \circ y_2) = f^{'{'}-1{'}'}(f(x_1) \circ f(x_2)) = f^{'{'}-1{'}'}(f(x_1 \star x_2)) = x_1 \star x_2 = f^{'{'}-1{'}'}(y_1) \star f^{'{'}-1{'}'}(y_2)$$

因此 $f^{-1}$ 是从 $(B, \circ)$ 到 $(A, \star)$ 的同构映射，即 $(B, \circ) \cong (A, \star)$。

3. 传递性

定理：若 $(A, \star) \cong (B, \circ)$ 且 $(B, \circ) \cong (C, \bullet)$，则 $(A, \star) \cong (C, \bullet)$。

证明： 设 $f: A \rightarrow B$ 是 $(A, \star)$ 到 $(B, \circ)$ 的同构映射，即 $f(a_1 \star a_2) = f(a_1) \circ f(a_2)$。 设 $g: B \rightarrow C$ 是 $(B, \circ)$ 到 $(C, \bullet)$ 的同构映射，即 $g(b_1 \circ b_2) = g(b_1) \bullet g(b_2)$。

构造复合映射 $h = g \circ f: A \rightarrow C$，对于任意 $a_1, a_2 \in A$，有：

$$h(a_1 \star a_2) = g(f(a_1 \star a_2)) = g(f(a_1) \circ f(a_2)) = g(f(a_1)) \bullet g(f(a_2)) = h(a_1) \bullet h(a_2)$$

由于 $f$ 和 $g$ 都是双射，$h = g \circ f$ 也是双射，因此 $h$ 是从 $(A, \star)$ 到 $(C, \bullet)$ 的同构映射，即 $(A, \star) \cong (C, \bullet)$。

同构的保持性质

1. 保持结合律

定理：若 $(A, \star) \cong (B, \circ)$，且 $\star$ 在 $A$ 上具有结合律，则 $\circ$ 在 $B$ 上也具有结合律。

证明： 设 $f: A \rightarrow B$ 是 $(A, \star)$ 到 $(B, \circ)$ 的同构映射。对于任意 $b_1, b_2, b_3 \in B$， 由于 $f$ 是满射，存在 $a_1, a_2, a_3 \in A$，使得 $f(a_1) = b_1, f(a_2) = b_2, f(a_3) = b_3$。

$$(b_1 \circ b_2) \circ b_3 = (f(a_1) \circ f(a_2)) \circ f(a_3) = f(a_1 \star a_2) \circ f(a_3) = f((a_1 \star a_2) \star a_3)$$

由于 $\star$ 满足结合律，有 $(a_1 \star a_2) \star a_3 = a_1 \star (a_2 \star a_3)$，因此：

$$f((a_1 \star a_2) \star a_3) = f(a_1 \star (a_2 \star a_3)) = f(a_1) \circ f(a_2 \star a_3) = f(a_1) \circ (f(a_2) \circ f(a_3)) = b_1 \circ (b_2 \circ b_3)$$

因此 $(b_1 \circ b_2) \circ b_3 = b_1 \circ (b_2 \circ b_3)$，$\circ$ 在 $B$ 上具有结合律。

2. 保持交换律

定理：若 $(A, \star) \cong (B, \circ)$，且 $\star$ 在 $A$ 上具有交换律，则 $\circ$ 在 $B$ 上也具有交换律。

证明： 设 $f: A \rightarrow B$ 是 $(A, \star)$ 到 $(B, \circ)$ 的同构映射。对于任意 $b_1, b_2 \in B$， 存在 $a_1, a_2 \in A$，使得 $f(a_1) = b_1, f(a_2) = b_2$。

$$b_1 \circ b_2 = f(a_1) \circ f(a_2) = f(a_1 \star a_2)$$

由于 $\star$ 满足交换律，有 $a_1 \star a_2 = a_2 \star a_1$，因此：

$$f(a_1 \star a_2) = f(a_2 \star a_1) = f(a_2) \circ f(a_1) = b_2 \circ b_1$$

因此 $b_1 \circ b_2 = b_2 \circ b_1$，$\circ$ 在 $B$ 上具有交换律。

3. 保持幺元、零元和逆元

定理：若 $(A, \star) \cong (B, \circ)$，则：

1. 若 $e_A$ 是 $(A, \star)$ 的幺元，则 $f(e_A)$ 是 $(B, \circ)$ 的幺元。
2. 若 $z_A$ 是 $(A, \star)$ 的零元，则 $f(z_A)$ 是 $(B, \circ)$ 的零元。
3. 若 $a^{-1}$ 是 $a$ 在 $(A, \star)$ 中的逆元，则 $f(a^{-1})$ 是 $f(a)$ 在 $(B, \circ)$ 中的逆元。

证明（幺元）： 设 $f: A \rightarrow B$ 是从 $(A, \star)$ 到 $(B, \circ)$ 的同构映射，$e_A$ 是 $(A, \star)$ 的幺元。 对任意 $b \in B$，存在唯一的 $a \in A$ 使得 $f(a) = b$。

$$b \circ f(e_A) = f(a) \circ f(e_A) = f(a \star e_A) = f(a) = b$$

$$f(e_A) \circ b = f(e_A) \circ f(a) = f(e_A \star a) = f(a) = b$$

因此 $f(e_A)$ 是 $(B, \circ)$ 的幺元。（零元和逆元的证明类似）

4. 保持分配率

定理：若 $(A, \star, \diamond) \cong (B, \circ, \triangle)$，且 $\diamond$ 对 $\star$ 满足分配率，则 $\triangle$ 对 $\circ$ 也满足分配率。

证明： 设 $f: A \rightarrow B$ 是同构映射，满足 $f(a_1 \star a_2) = f(a_1) \circ f(a_2)$ 和 $f(a_1 \diamond a_2) = f(a_1) \triangle f(a_2)$。

若 $\diamond$ 对 $\star$ 满足左分配律，即 $a_1 \diamond (a_2 \star a_3) = (a_1 \diamond a_2) \star (a_1 \diamond a_3)$，则对于任意 $b_1, b_2, b_3 \in B$，设 $f(a_i) = b_i$：

$$\begin{'{'}align{'}'} b_1 \triangle (b_2 \circ b_3) &= f(a_1) \triangle (f(a_2) \circ f(a_3)) \ &= f(a_1) \triangle f(a_2 \star a_3) \ &= f(a_1 \diamond (a_2 \star a_3)) \ &= f((a_1 \diamond a_2) \star (a_1 \diamond a_3)) \ &= f(a_1 \diamond a_2) \circ f(a_1 \diamond a_3) \ &= (b_1 \triangle b_2) \circ (b_1 \triangle b_3) \end{'{'}align{'}'}$$

因此 $\triangle$ 对 $\circ$ 满足左分配律。右分配律的证明类似。

5. 保持吸收率

定理：若 $(A, \star, \diamond) \cong (B, \circ, \triangle)$，且 $(A, \star, \diamond)$ 满足吸收律，则 $(B, \circ, \triangle)$ 也满足吸收律。

证明： 设 $f: A \rightarrow B$ 是同构映射，$(A, \star, \diamond)$ 满足吸收律：$a_1 \star (a_1 \diamond a_2) = a_1$ 和 $a_1 \diamond (a_1 \star a_2) = a_1$。

对于任意 $b_1, b_2 \in B$，存在 $a_1, a_2 \in A$，使得 $f(a_1) = b_1, f(a_2) = b_2$。

$$\begin{'{'}align{'}'} b_1 \circ (b_1 \triangle b_2) &= f(a_1) \circ (f(a_1) \triangle f(a_2)) \ &= f(a_1) \circ f(a_1 \diamond a_2) \ &= f(a_1 \star (a_1 \diamond a_2)) \ &= f(a_1) \ &= b_1 \end{'{'}align{'}'}$$

类似地：

$$\begin{'{'}align{'}'} b_1 \triangle (b_1 \circ b_2) &= f(a_1) \triangle (f(a_1) \circ f(a_2)) \ &= f(a_1) \triangle f(a_1 \star a_2) \ &= f(a_1 \diamond (a_1 \star a_2)) \ &= f(a_1) \ &= b_1 \end{'{'}align{'}'}$$

因此 $(B, \circ, \triangle)$ 也满足吸收律。

同态核

定义

设 $f: (A, \star) \rightarrow (B, \circ)$ 是一个同态映射，则 $f$ 的同态核（也称为核）定义为：

$$\text{'{'}Ker{'}'}(f) = {'{'}a \in A | f(a) = e_B{'}'}$$

其中 $e_B$ 是代数系统 $(B, \circ)$ 的单位元（幺元）。

同态核的性质

1. 闭包性：若 $a, b \in \text{Ker}(f)$，则 $a \star b \in \text{Ker}(f)$

   证明：因为 $a, b \in \text{Ker}(f)$，所以 $f(a) = e_B, f(b) = e_B$

   $$f(a \star b) = f(a) \circ f(b) = e_B \circ e_B = e_B$$

   因此 $a \star b \in \text{Ker}(f)$

2. 幺元属于核：若 $(A, \star)$ 有幺元 $e_A$，则 $e_A \in \text{Ker}(f)$

   证明：由同态的性质，$f(e_A)$ 是 $(B, \circ)$ 的幺元，即 $f(e_A) = e_B$， 因此 $e_A \in \text{Ker}(f)$

3. 正规子群性质：若 $(A, \star)$ 是群，则 $\text{Ker}(f)$ 是 $(A, \star)$ 的正规子群

   证明：

   • 由性质1和2，$\text{Ker}(f)$ 是非空的，并且对 $\star$ 运算封闭

   • 对任意 $a \in \text{Ker}(f)$，其逆元 $a^{-1}$ 满足：

     $$f(a^{'{'}-1{'}'}) = f(a)^{'{'}-1{'}'} = e_B^{'{'}-1{'}'} = e_B$$

     因此 $a^{-1} \in \text{Ker}(f)$

   • 对任意 $x \in A$ 和 $a \in \text{Ker}(f)$：

     $$f(x \star a \star x^{'{'}-1{'}'}) = f(x) \circ f(a) \circ f(x^{'{'}-1{'}'}) = f(x) \circ e_B \circ f(x)^{'{'}-1{'}'} = f(x) \circ f(x)^{'{'}-1{'}'} = e_B$$

     因此 $x \star a \star x^{-1} \in \text{Ker}(f)$，这证明了 $\text{Ker}(f)$ 是正规子群

同态核与同构的关系

定理：设 $f: (A, \star) \rightarrow (B, \circ)$ 是满同态，则 $f$ 是同构当且仅当 $\text{Ker}(f) = \{e_A\}$。

证明：

• 若 $f$ 是同构，则 $f$ 是双射，特别是单射。对任意 $a \in A$，若 $f(a) = e_B$，则 $a = e_A$（因为 $f(e_A) = e_B$）。所以 $\text{Ker}(f) = \{e_A\}$。

• 反之，若 $\text{Ker}(f) = \{e_A\}$，则对任意 $a, b \in A$，如果 $f(a) = f(b)$，则：

  $$f(a \star b^{'{'}-1{'}'}) = f(a) \circ f(b)^{'{'}-1{'}'} = f(a) \circ f(a)^{'{'}-1{'}'} = e_B$$

  因此 $a \star b^{-1} \in \text{Ker}(f) = \{e_A\}$，即 $a \star b^{-1} = e_A$，所以 $a = b$。 这证明了 $f$ 是单射，结合 $f$ 是满射的条件，$f$ 是双射，即同构。

后记

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