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偏序关系
< A , ≤ > <A,\leq> < A , ≤> ≤ 是 A 上自反 , 反对称 , 和传递关系 ( 偏序 ) . \leq 是A上自反,反对称,和传递关系(偏序). ≤ 是 A 上自反 , 反对称 , 和传递关系 ( 偏序 ) .
偏序集中的元素间的次序可以通过它的 H a s s e 图反映出来 . 偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来. 偏序集中的元素间的次序可以通过它的 H a sse 图反映出来 .
偏序集中的重要元素 : 极大 ( 小 ) 元 , 最大 ( 小 ) 元 , 上 ( 下 ) 界 , 上 ( 下 ) 确界 . 偏序集中的重要元素:极大(小)元,最大(小)元,上(下)界,上(下)确界. 偏序集中的重要元素 : 极大 ( 小 ) 元 , 最大 ( 小 ) 元 , 上 ( 下 ) 界 , 上 ( 下 ) 确界 .
定义
< A , ≤ > 是偏序集 , 如果任何 a , b ∈ A , 使得 { a , b } 都有 上确界和下确界 , 则称 < A , ≤ > 是格 <A,\leq>是偏序集,如果任何a,b \in A,使得 \{a,b\}都有\\上确界和下确界,则称<A,\leq>是格 < A , ≤> 是偏序集 , 如果任何 a , b ∈ A , 使得 { a , b } 都有 上确界和下确界 , 则称 < A , ≤> 是格
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平凡格
所有的全序都是格,称之为平凡格.
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由格诱导的代数系统 设 < A , ⪯ > 是格，在 A 上定义二元运算 ∨ 和 ∧ 为 : ∀ a , b ∈ A a ∨ b = LUB {'{'} a , b {'}'} , {'{'} a , b {'}'} 的最小上界。 L e a s t U p p e r B o u n d a ∧ b = GLB {'{'} a , b {'}'} , {'{'} a , b {'}'} 的最大下界。 G r e a t e s t L o w e r B o u n d 称 < A , ∨ , ∧ > 是由格 < A , ⪯ > 诱导的代数系统。 ( ∨ − 并 , ∧ − 交 ) \mathbf{'{'}
\begin{'{'}aligned{'}'}
&\text{'{'}由格诱导的代数系统{'}'} \
&设<A,\preceq>是格，在A上定义二元运算\lor和\land为: \forall a,b\in A \
&a\lor b = \text{'{'}LUB{'}'} {'{'}a,b{'}'}, \quad {'{'}a,b{'}'}的最小上界。Least Upper Bound \
&a\land b = \text{'{'}GLB{'}'} {'{'}a,b{'}'}, \quad {'{'}a,b{'}'}的最大下界。Greatest Lower Bound \
&称<A,\lor,\land>是由格<A,\preceq>诱导的代数系统。(\lor-并,\land-交)
\end{'{'}aligned{'}'}
{'}'}
由格诱导的代数系统 设 < A , ⪯> 是格，在 A 上定义二元运算 ∨ 和 ∧ 为 : ∀ a , b ∈ A a ∨ b = LUB {'{'} a , b {'}'} , {'{'} a , b {'}'} 的最小上界。 L e a s t U pp er B o u n d a ∧ b = GLB {'{'} a , b {'}'} , {'{'} a , b {'}'} 的最大下界。 G r e a t es t L o w er B o u n d 称 < A , ∨ , ∧ > 是由格 < A , ⪯> 诱导的代数系统。 ( ∨ − 并 , ∧ − 交 )
子格 设 < A , ∨ , ∧ > 是由格 < A , ⪯ > 诱导的代数系统。 B 是 A 的非空子集， 如果 ∧ 和 ∨ 在 B 上封闭，则称 < B , ⪯ > 是 < A , ⪯ > 的子格。 \mathbf{'{'}
\begin{'{'}aligned{'}'}
&\text{'{'}子格{'}'} \
&设<A,\lor,\land>是由格<A,\preceq>诱导的代数系统。B是A的非空子集， \
&如果\land和\lor在B上封闭，则称<B,\preceq>是<A,\preceq>的子格。
\end{'{'}aligned{'}'}
{'}'} 子格 设 < A , ∨ , ∧ > 是由格 < A , ⪯> 诱导的代数系统。 B 是 A 的非空子集， 如果 ∧ 和 ∨ 在 B 上封闭，则称 < B , ⪯> 是 < A , ⪯> 的子格。
格的对偶 如果将命题 ( P ) 中的 ⩽ 换成 ⩾ ， ∧ 换成 ∨ ， ∨ 换成 ∧ ，得到命题 ( P ′ ) ，称 ( P ′ ) 为 ( P ) 的对偶命题。 对偶原理：如果 ( P ) 对任何格为真，则 ( P ′ ) 对任何格也为真。 \mathbf{'{'}
\begin{'{'}aligned{'}'}
&\text{'{'}格的对偶{'}'} \
&如果将命题 (P) 中的 \leqslant 换成 \geqslant，\land 换成 \lor，\lor 换成 \land，得到命题 (P')，称 (P') 为 (P) 的对偶命题。 \
&对偶原理：如果 (P) 对任何格为真，则 (P') 对任何格也为真。
\end{'{'}aligned{'}'}
{'}'} 格的对偶 如果将命题 ( P ) 中的 ⩽ 换成 ⩾ ， ∧ 换成 ∨ ， ∨ 换成 ∧ ，得到命题 ( P ′ ) ，称 ( P ′ ) 为 ( P ) 的对偶命题。 对偶原理：如果 ( P ) 对任何格为真，则 ( P ′ ) 对任何格也为真。
格的同态与同构
三. 格的同态与同构 设 < A 1 , ⩽ 1 > 和 < A 2 , ⩽ 2 > 是两个格，由它们诱导的代数系统分别是 < A 1 , ∨ 1 , ∧ 1 > 和 < A 2 , ∨ 2 , ∧ 2 > , 如果存在映射 f : A 1 → A 2 使得对任何 a , b ∈ A 1 , f ( a ∨ 1 b ) = f ( a ) ∨ 2 f ( b ) f ( a ∧ 1 b ) = f ( a ) ∧ 2 f ( b ) 则称 f 是 < A 1 , ∨ 1 , ∧ 1 > 到 < A 2 , ∨ 2 , ∧ 2 > 的同态映射。 也称 < f ( A 1 ) , ⩽ 2 > 是 < A 1 , ⩽ 1 > 的同态像。 如果 f 是双射，就称 f 是 < A 1 , ∨ 1 , ∧ 1 > 到 < A 2 , ∨ 2 , ∧ 2 > 的格同构， 也称格 < A 1 , ⩽ 1 > 和 < A 2 , ⩽ 2 > 同构。 \mathbf{'{'}
\begin{'{'}aligned{'}'}
&\text{'{'}三. 格的同态与同构{'}'} \
&\text{'{'}设{'}'} <A_1,\leqslant_1> \text{'{'} 和 {'}'} <A_2,\leqslant_2> \text{'{'} 是两个格，由它们诱导的代数系统分别是 {'}'} \
&<A_1,\lor_1,\land_1> \text{'{'} 和 {'}'} <A_2,\lor_2,\land_2>, \text{'{'} 如果存在映射 {'}'} f:A_1\rightarrow A_2 \text{'{'} 使得对任何 {'}'} a,b\in A_1, \
&\quad f(a\lor_1 b)=f(a)\lor_2 f(b) \
&\quad f(a\land_1 b)=f(a)\land_2 f(b) \
&\text{'{'}则称{'}'} f \text{'{'} 是 {'}'} <A_1,\lor_1,\land_1> \text{'{'} 到 {'}'} <A_2,\lor_2,\land_2> \text{'{'} 的同态映射。{'}'} \
&\text{'{'}也称 {'}'} <f(A_1),\leqslant_2> \text{'{'} 是 {'}'} <A_1,\leqslant_1> \text{'{'} 的同态像。{'}'} \
&\text{'{'}如果 {'}'} f \text{'{'} 是双射，就称 {'}'} f \text{'{'} 是 {'}'} <A_1,\lor_1,\land_1> \text{'{'} 到 {'}'} <A_2,\lor_2,\land_2> \text{'{'} 的格同构，{'}'} \
&\text{'{'}也称格 {'}'} <A_1,\leqslant_1> \text{'{'} 和 {'}'} <A_2,\leqslant_2> \text{'{'} 同构。{'}'}
\end{'{'}aligned{'}'}
{'}'} 三 . 格的同态与同构 设 < A 1 , ⩽ 1 > 和 < A 2 , ⩽ 2 > 是两个格，由它们诱导的代数系统分别是 < A 1 , ∨ 1 , ∧ 1 > 和 < A 2 , ∨ 2 , ∧ 2 > , 如果存在映射 f : A 1 → A 2 使得对任何 a , b ∈ A 1 , f ( a ∨ 1 b ) = f ( a ) ∨ 2 f ( b ) f ( a ∧ 1 b ) = f ( a ) ∧ 2 f ( b ) 则称 f 是 < A 1 , ∨ 1 , ∧ 1 > 到 < A 2 , ∨ 2 , ∧ 2 > 的同态映射。 也称 < f ( A 1 ) , ⩽ 2 > 是 < A 1 , ⩽ 1 > 的同态像。 如果 f 是双射，就称 f 是 < A 1 , ∨ 1 , ∧ 1 > 到 < A 2 , ∨ 2 , ∧ 2 > 的格同构， 也称格 < A 1 , ⩽ 1 > 和 < A 2 , ⩽ 2 > 同构。
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