离散数学:代数系统(一)

先记忆一下基础概念,顺便练习一下$\LaTeX{}$

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运算律

可交换性

$设\circ为S上的二元运算$

$如果\forall x, y \in S,都有$ $x \circ y = y \circ x$ $则称\circ运算是\textbf{可交换的}$

可结合性

$设\circ为S上的二元运算$

$如果\forall x, y, z \in S,都有$ $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$ $则称\circ运算是\textbf{可结合的}$

分配律

$设\circ和*为S上的两个二元运算$

$如果\forall x, y, z \in S,都有$ $x \circ (y _ z) = (x \circ y) _ (x \circ z)$ $和 (y _ z) \circ x = (y \circ x) _ (z \circ x)$ $则称\circ运算对\*运算满足\textbf{分配律}$

吸收律

$设\circ和*为S上的两个二元运算$

$如果\forall x, y \in S,都有$ $x \circ (x _ y) = x$ $和 x _ (x \circ y) = x$ $则称\circ和\*运算满足\textbf{吸收律}$

消去律

$设\circ为S上的二元运算$

$如果\forall x, y, z \in S,当x \neq z时$ $x \circ y = x \circ z \implies y = z$ $和 y \circ x = z \circ x \implies y = z$ $则称\circ运算满足\textbf{消去律}$

如果$\circ$运算满足左消去律和右消去律，则称其满足消去律。

特殊元

幂等元

$设\circ为S上的二元运算$

$\forall x \in S$ ; $x\circ x=x$ $则称\circ运算适合 \textbf{幂等律}$

$\exists x \in S$ ; $x\circ x=x$ 则称$x 为运算\circ 的 \textbf{幂等元}$

幺元(单位元)

$设\circ为S上的二元运算$

$如果\exists e_l(或e_r),使得\forall x \in S 都有$ $e_l \circ x =x (或 x \circ e_r =x)$ $则称e_l(或e_r)为S上关于\circ运算的一个\textbf{左幺元}(或\textbf{右幺元)}$ $若e关于\circ运算既是左幺元又是右幺元,则称e为S上关于运算\circ的\textbf{幺元}$

零元

$设\circ为S上的二元运算$

$如果\exists z_l(或z_r),使得\forall x \in S 都有$ $z_l \circ x = z_l (或 x \circ z_r = z_r)$ $则称z_l(或z_r)为S上关于\circ运算的一个\textbf{左零元}(或\textbf{右零元)}$ $若z关于\circ运算既是左零元又是右零元,则称z为S上关于运算\circ的\textbf{零元}$

特别地，如果$\circ$是可交换的，则左零元和右零元相等，统称为零元。

逆元

$设\circ为S上的二元运算，且e为S上关于\circ运算的幺元$

$如果\forall x \in S,\exists y \in S,使得$ $y \circ x = e (或 x \circ y = e)$ $则称y为x关于\circ运算的\textbf{左逆元}(或\textbf{右逆元)}$ $若y关于\circ运算既是x的左逆元又是右逆元,则称y为x关于\circ运算的\textbf{逆元}$

如果每个元素都有逆元，则称该代数结构关于$\circ$运算是可逆的。