离散数学:子群的陪集及拉格朗日定理

子群的陪集

定义

设$<H,*>$是群$<G,*>$的子群,$a \in G$,定义集合

$aH=\{a*h|h \in H\}$

$Ha=\{h*a |h \in H\}$

则称aH(Ha)为a确定的H在G中的左(右)陪集.

定理

$<H,*>是群<G,*>的子群,任何a,b \in G,有$

$(1)aH=bH 当且仅当a \in bH$

$(2)aH \cap bH = \varnothing 当且仅当a \notin bH$

证明(1)

(1)必要性

已知,aH=bH,因$e \in H$,于是$a=a*e \in a H$

(2)充分性

设$a\in bH$,先证$aH \subseteq bH$

设,任意$x \in aH$,于是有$h_1 \in H\\ 使得x=a*h_1\\由于a \in bH,于是有h_2 \in H \\使得 a=b*h_2\\于是x=(b*h_2)*h_1=b*(h_2*h_1)\\由<H,*>是群,h_2*h_1\in H ,于是 x \in bH,所以aH \subseteq bH \\ 同理可证bH \subseteq aH,于是aH=bH$,

证明(2)

a) 必要性，已知 $aH \cap bH = \varnothing$，假设 $a \in bH$

由于 $e \in H$，于是 $a = a \star e \in aH$

于是 $a \in aH \cap bH$，与 $aH \cap bH = \varnothing$ 矛盾，所以 $a \notin bH$。

b) 充分性，已知 $a \notin bH$，（往证 $aH \cap bH = \varnothing$）

假设 $aH \cap bH \neq \varnothing$，则至少有 $x \in aH \cap bH$

于是 $x \in aH$ 且 $x \in bH$，即存在 $h_1, h_2 \in H$ 使得 $x = a \star h_1$，$x = b \star h_2$

于是 $a \star h_1 = b \star h_2$。又 $h_1^{-1} \in H$，所以 $a = b \star (h_2 \star h_1^{-1})$，而 $h_2 \star h_1^{-1} \in H$

于是 $a \in bH$，与 $a \notin bH$ 矛盾。因此 $aH \cap bH = \varnothing$

定理2

设$<H,*>是群<G,*>的子群,对任何a \in G,a$必属于且仅属于一个陪集

设$<G,*>是有限群,<H,*>是群<G,*>的子群,b \in G, bH为<H,*>的左陪集$,则bH中的任何两个元素都不相同

拉格朗日定理

设$<G,*>是有限群\\|G|=n,<H,*>是<G,*>的任意子群\\且|H|=m,则n=km,(k\in I)$

拉格朗日定理说明:

子群的阶数,是群阶数的因子

推论1

$<G,*>是n阶群,则对任意的a \in G, |a|必是n的银子,且a^n=e$